https://codeforces.com/contest/1001/problem/B
状態$\ket{00}$および整数$index$が与えられる。$index$の番号に対応したBell状態を作れ。 \begin{align*} \ket{B_0}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{00}+\ket{11} \right)\\ \ket{B_1}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{00}-\ket{11} \right)\\ \ket{B_2}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{01}+\ket{10} \right)\\ \ket{B_3}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{01}-\ket{10} \right) \end{align*}
以下、2つのqubitが並んでいる状態を \begin{align*} \ket{\psi}&=\alpha\ket{0}_0\otimes\ket{0}_1+\beta\ket{0}_0\otimes\ket{1}_1+\gamma\ket{1}_0\otimes\ket{0}_1+\delta\ket{1}_0\otimes\ket{1}_1\\ &=\alpha\ket{00}+\beta\ket{01}+\gamma\ket{10}+\delta\ket{11} \end{align*} という4つの直積状態の基底を用いて表します。
Bell状態は2つのqubitが強くエンタングルした状態であり、片方を観測すると直ちにもう片方の状態が定まります。問題で与えられる状態$\ket{00}$からこのような状態を作り出すには、どちらか1つのqubitに作用する量子ゲートだけを用いていても駄目で、2つの入力と2つの出力を持ち、「2つのqubit状態」に作用する操作をしてあげる必要があります。
状態$\ket{00}$からBell状態を作り出すためにはC-NOTゲート（制御NOTゲート）を利用すればよいです。C-NOTゲートは $$G=\ket{0}_0\bra{0}I_1+\ket{1}_0\bra{1}X_1$$ で表される演算であり、ここで$I$は恒等演算子 \begin{align*} I\ket{0}=\ket{0}\\ I\ket{1}=\ket{1} \end{align*} です。これは「1つめのqubitが$\ket{0}$であれば2つめのqubitにはなにもせず、1つめのqubitが$\ket{1}$であれば2つめのqubitを反転させる」演算であるといえます。「2つめのqubitに1つめのqubitを排他的論理和演算する」と言い換えることもできるでしょう。C-NOTゲートを状態$\ket{+}_1\otimes\ket{0}_2=\ket{+0}$に作用させると \begin{align*} G\ket{+0}&=\left( \ket{0}_0\bra{0}I_1+\ket{1}_0\bra{1}X_1\right)\ket{+0}\\ &=\left( \ket{0}_0\bra{0}I_1+\ket{1}_0\bra{1}X_1\right)\frac{\ket{00}+\ket{10}}{\sqrt{2}}\\ &=\frac{\ket{00}+\ket{11}}{\sqrt{2}} \end{align*} となり、Bell状態$\ket{B_0}$を得ます。同様に \begin{align*} G\ket{-0}&=\frac{\ket{00}-\ket{11}}{\sqrt{2}}\\ &=\ket{B_1}\\ G\ket{+1}&=\frac{\ket{01}+\ket{10}}{\sqrt{2}}\\ &=\ket{B_2}\\ G\ket{-1}&=\frac{\ket{01}-\ket{10}}{\sqrt{2}}\\ &=\ket{B_3}\\ \end{align*} となります。
状態$\ket{+}$および$\ket{-}$を作りだす方法はA問題ですでにわかっているので、これでこの問題が解けました。
namespace Solution {
open Microsoft.Quantum.Primitive;
open Microsoft.Quantum.Canon;
operation Solve (qs : Qubit[], index : Int) : ()
{
body
{
if(index==0 || index==2){
H(qs[0]); //1つめのqubitを+に
}
else{
X(qs[0]);
H(qs[0]); //1つめのqubitを-に
}
if(index==2 || index==3){
X(qs[1]); //2つめのqubitを1に
}
CNOT(qs[0],qs[1]); //CNOTゲートを作用させる
}
}
}